Przejdź do zawartości

Baza standardowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Każdy trójwymiarowy wektor a jest kombinacją liniową wektorów bazy standardowej i, j oraz k.

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory

a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory

Powyższe wektory wskazują odpowiednio kierunki osi Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich

Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.

Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako

gdzie skalary składowymi wektora

W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje różnych wektorów bazy standardowej

gdzie oznacza wektor z na -tej współrzędnej i wszędzie indziej.

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.

Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory

są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.

Uogólnienia

[edytuj | edytuj kod]

Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.

Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny

gdzie jest dowolnym zbiorem, a to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli i równy jedności, jeśli Rodzina ta jest bazą kanoniczną -modułu (modułu wolnego) wszystkich rodzin z w pierścień które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że to czyli jedność w

Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge’a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.

Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]